Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & 1 & 0 2 & 1 & - 4 2 & - 1 & 20 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 4 \\ 2 & - 1 & 20 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} 2 & 1 & - 4 2 & - 1 & 20 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} \\ 2 & 1 & - 4 \\ 2 & - 1 & 20 \end{array}]$

Étape 1.1.2

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{3} & 0 2 & 1 & - 4 2 & - 1 & 20 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 0 \\ 2 & 1 & - 4 \\ 2 & - 1 & 20 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{3} & 0 2 & 1 & - 4 2 & - 1 & 20 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 0 \\ 2 & 1 & - 4 \\ 2 & - 1 & 20 \end{array}]$

Étape 1.2

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{3} & 0 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 (\frac{1}{3}) & - 4 - 2 \cdot 0 2 & - 1 & 20 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 (\frac{1}{3}) & - 4 - 2 \cdot 0 \\ 2 & - 1 & 20 \end{array}]$

Étape 1.2.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{3} & 0 0 & \frac{1}{3} & - 4 2 & - 1 & 20 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & - 4 \\ 2 & - 1 & 20 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{3} & 0 0 & \frac{1}{3} & - 4 2 & - 1 & 20 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & - 4 \\ 2 & - 1 & 20 \end{array}]$

Étape 1.3

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & - 4 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 (\frac{1}{3}) & 20 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 1.3.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & - 4 \\ 0 & - \frac{5}{3} & 20 \end{array}]$

Étape 1.4

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$3$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$3$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 (\frac{1}{3}) & 3 \cdot - 4 \\ 0 & - \frac{5}{3} & 20 \end{array}]$

Étape 1.4.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - 12 \\ 0 & - \frac{5}{3} & 20 \end{array}]$

Étape 1.5

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + \frac{5}{3} R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + \frac{5}{3} R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - 12 \\ 0 + \frac{5}{3} \cdot 0 & - \frac{5}{3} + \frac{5}{3} \cdot 1 & 20 + \frac{5}{3} \cdot - 12 \end{array}]$

Étape 1.5.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1.6

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{3} \cdot - 12 \\ 0 & 1 & - 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1.6.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & - 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2

The pivot positions are the locations with the leading

$1$ in each row. The pivot columns are the columns that have a pivot position.

Pivot Positions:

$a_{11}$ and

$a_{22}$

Pivot Columns:

$1$ and

$2$

Étape 3

The rank is the number of pivot columns.

$2$